korene, takže množina všetkých možných koreňov všetkých polynómov s celočíselnými koeficientmi je spočítateľným spojením konečných množín, teda nanajvýš spočítateľnými. Je zrejmé, že množina nie je konečná, takže množina všetky algebraické čísla sú spočítateľné.
Sú algebraické čísla nekonečné?
Napríklad pole všetkých algebraických čísel je nekonečné algebraické rozšírenie racionálnych čísel … Q[π] a Q[e] sú polia, ale π a e sú polia transcendentálne nad Q. Algebraicky uzavreté pole F nemá žiadne vlastné algebraické rozšírenia, to znamená žiadne algebraické rozšírenia E s F < E.
Sú algebrické čísla spočítateľné?
Všetky celé čísla a racionálne čísla sú algebraické, rovnako ako všetky korene celých čísel.… Množina komplexných čísel je nespočítateľná, ale množina algebraických čísel je spočítateľná a má mieru nulu v Lebesgueovej miere ako podmnožinu komplexných čísel. V tomto zmysle sú takmer všetky komplexné čísla transcendentálne.
Čo sa považuje za spočítateľné nekonečné?
Množina je spočítateľne nekonečná ak sa jej prvky dajú zhodovať s množinou prirodzených čísel Inými slovami, možno odpočítať všetky prvky v súbor takým spôsobom, že aj keď počítanie bude trvať večnosť, ku ktorémukoľvek konkrétnemu prvku sa dostanete v konečnom čase.
Sú všetky algebraické čísla zostaviteľné?
Nie všetky algebraické čísla sú zostaviteľné Napríklad korene jednoduchej rovnice polynómu tretieho stupňa x³ - 2=0 nie sú zostaviteľné. (Gauss dokázal, že aby bolo algebraické číslo zostaviteľné, musí byť koreňom celočíselného polynómu stupňa, ktorý je mocninou 2 a nie menej.)
