Kedy je abelovská skupina cyklická?

2024 Autor: Fiona Howard | [email protected]. Naposledy zmenené: 2024-01-10 06:42

Neformálne je skupina cyklická ak je generovaná jedným prvkom. Je to abelianske, ak násobenie komutuje. Skupina je cyklická, ak ju môže vytvoriť jeden prvok.

Je abelovská skupina cyklická?

Všetky cyklické skupiny sú abelovské, ale abelovská skupina nemusí byť nevyhnutne cyklická. Všetky podskupiny abelovskej skupiny sú normálne. V Abelovskej skupine je každý prvok v triede konjugácie sám o sebe a tabuľka znakov obsahuje sily jedného prvku známeho ako generátor skupiny.

Ako dokážete, že abelovská skupina je cyklická?

Dôkaz

1. Nech G je cyklická skupina s generátorom g∈G. Konkrétne máme G=⟨g⟩ (každý prvok v G je nejaká mocnina g.)
2. Nech aab sú ľubovoľné prvky v G. Potom existuje n, m∈Z takých, že a=gn a b=gm.
3. Pre ľubovoľné a, b∈G teda získame ab=ba. G je teda abelovská skupina.

Ako zistíte, či je skupina cyklická?

4 odpovede. Konečná grupa je cyklická, ak a len vtedy, ak má práve jednu podgrupu každého deliteľa svojho rádu. Takže ak nájdete dve podskupiny rovnakého poradia, potom skupina nie je cyklická a to môže niekedy pomôcť.

Čo je cyklická skupina vysvetlená na príklade?

Napríklad (Z/6Z)^×={1, 5} , a keďže 6 je dvakrát nepárne prvočíslo, toto je cyklická skupina. … Keď je (Z/nZ)^× cyklický, jeho generátory sa nazývajú primitívne korene modulo n. Pre prvočíslo p je grupa (Z/pZ)^{× vždy cyklická a pozostáva z nenulových prvkov konečného poľa rádu p.}